V = velocidad del fluido en la sección considerada.
g = aceleración gravitatoria
z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.
P = presión a lo largo de la línea de corriente.
ρ = densidad del fluido.
Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.
Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.
También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por γ, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.
RESTRICCIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI
- Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.
- No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos
secciones de interés que pudieran agregar o eliminar
energía del sistema, ya que la ecuación establece que la
energía total del fluido es constante. - No puede haber transferencia de calor hacia adentro o
afuera del sistema.
Ecuación de Bernoulli para el fluido real
En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto con el contorno (tubería, canal, etc.) cuanto de las partículas de fluido entre si. Entonces la ecuación de Bernoulli no se cumple. Naturalmente se sigue cumpliendo el principio de la conservación de la energía o primer principio de la termodinámica. Es decir además de las tres clases de energías enumeradas y estudiadas, aparee la energía de fricción, la fricción provoca tan solo una variación del estado térmico del fluido.
Las pérdidas de carga en una conducción dependen de:
La longitud de la conducción
El diámetro interno de la conducción
El caudal circulante
La rugosidad interna del material de las paredes
ECUACION DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra.
Si se considera un fluido con un flujo a través de un volumen fijo como un tanque con una entrada y una salida, la razón con la cual el fluido entra en el volumen debe ser igual a la razón con la que el fluido sale del volumen para que se cumpla el principio fundamental de conservación de masa.
APLICACION DE BERNOULLI EN TUBERIAS
PROBLEMA: Se tiene un tubo por donde circula agua. El diámetro del tubo cambia gradualmente de 1.22 m en "X" a 0.4 m en "Y". X esta 8.4 m arriba de Y. Cuál es la diferencia de presiones registradas en 2 manómetros colocados en X y Y cuando hay un gasto de 5,263 L/s y pérdidas de 30 m entre un punto y otro?
Ax = π /4 (1.22 m)2 = 1.16 m2
Ay = 0.12 m2
Q = 5,263 L/s ( 1 m3/ 1000 L ) = 5.263 m3/s
La velocidad es: V = Q/A
Vx = Q/ Ax = (5.263 m3/s) / (1.16 m2 ) = 4.53 m/s
Vy = Q/ Ay = (5.263 m3/s) / (0.12 m2 ) = 43.85 m/s
Sustituyendo en la Ecuación de Bernoulli:
8.4 m + Px/s + [( 4.53 m/s )2 / ( 19.6 m/s2 )] = 0 m + Py/s + [(43.85 m/s)2 / (19.6 m/s2)] + 30 m
Px/s - Py/s = - ( 9.44 m ) + ( 2.23 m ) + 30 m = 22.79 m
Px - Py = 22.79 m ( 1,000 kg/m3 ) = 22,790 kg / m2
ROBLEMA: El diámetro de una tubería por donde circula agua varía de 0.12 m en "A" a 0.55m en "B". A esta a 2.48 m debajo de B. Determine el gasto en litros por segundo (L/s) cuando la velocidad en A es 0.2131 m/s y en B es de 0.1244 m/s. Desprecie el frotamiento.
Q1 » Q2
El gasto (Q) es igual a la velocidad (v) por el área del conducto (A): Q = vA
vA = 0.2131 m/s
vB = 0.1244 m/s
AA = π/4 (0.12m)2 = 0.011m2
QA = (0.2131 m/s) (0.011m2) = 2.3x10-3 m3/s
AB = π/4 (0.55m)2 = 0.2 m2
QB = (0.1244 m/s) (0.2m2) = 2.3x10-3m3/s
Q = 2.3x10-3 m3/s (1,000 L/1 m3) = 2.3 L/s
La velocidad de vaciado ( o de llenado) de un estanque depende solamente de ladiferencia de elevación entre la superficie libre del fluido y la salida donde seencuentra ubicado el orificio de descarga. Así, entre los puntos 1 y 2:
DEDUCCION:
De acuerdo al Teorema de Torricelli, la velocidad con que un fluido se vacía desde un recipiente abierto a través de un orificio lateral, el proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido sobre el orificio.
A mayor profundidad, mayor será la velocidad de salida del fluido a través del orificio
Un comportamiento similar se observa en los flujos de agua, a alta velocidad, de un embalse.
EXPERIENCIA DE TORRICELLI